Explicación:

Encontramos primero f'(x) usando las reglas que corresponden:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -42}{x}^6\mathrm{+\; 12}{x}^5\mathrm{-\; 5}$
Ahora derivamos esta expresión y obtenemos la respuesta:
$\mathrm{f\text{'}\text{'}(x)\; =\; -252}{x}^5\mathrm{+\; 60}{x}^4$

Explicación:

Utilizando la regla la derivada de una funcion lineal nos da:

$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; \$2a\$x}$

Explicación:

Para determinar la velocidad final de un móvil en caída libre, la fórmula que se debe usar es:

Vf = gt, donde g = 9.81 m/s².
Remplazando los valores que tenemos

VF = 9.81 (m/seg²) x 10.48 (seg) = 102.81 m/s
Entonces, la velocidad final de la piedra es de

102.81 m/s

Explicación:

Podemos observar que si

u =   x¹⁰

entonces 

du = 10 x⁹ 

observa que 40 = ( 4 )( 10 ) entonces podemos aplicar directamente

∫ sec² u du = tan u&

Realizando nos da igual a

4 tan( x¹⁰ )

agregamos k

4 tan( x¹⁰ ) + k

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 18}{x}^2\mathrm{+\; 83}$
Aplicando la regla de la cadena para la función logaritmo natural:
$D_x\mathrm{[\; ln\; u\; ]\; =}\frac{D_x\mathrm{[\; u\; ]}}{u}$
Y sustituyendo:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{D_x\mathrm{[18}{x}^2\mathrm{+83]}}{\mathrm{(18}{x}^2\mathrm{+83)}}$
Esto es, derivando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{\mathrm{36x}}{\mathrm{(18}{x}^2\mathrm{+83)}}$

Explicación:

Aplicando la regla D_X [ k u ] = k D_X [ u ], nos queda la expresión:

$3D_x[x^{\mathrm{-3}}]$
Y luego, usando la regla D_X [ x ⁿ ] = n x ^{n - 1}, obtenemos:

$3({\mathrm{-3x}}^{\mathrm{-3-1}})$
Entonces, la respuesta es:

$\mathrm{f\text{'}(x)=-9}{x}^{\mathrm{-4}}$

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -9x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 24\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-9}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 24\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -9\; (\; 1\; )\; -\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -9}$

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -11x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 52\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-11}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 52\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11\; (\; 1\; )\; -\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11}$

Explicación:

Si hacemos la sustitución directa de -4 en f(x) obtenemos la indeterminación matemática 0/0,
pero eso NO significa que el Límite No exista, pues podemos eliminar la indeterminación cancelando los terminos idénticos:

Ahora sí, para esta nueva expresión, hacemos la sustitución de -4 en f(x):
$\underset{\mathrm{x\to -4}}{\lim }?\mathrm{(\; x\; -\; 4\; )}=\underset{\mathrm{x\to -4}}{\lim }?\mathrm{(-4\; -\; 4)}$
Entonces, el límite es:

-8

Explicación:

Aplicando la regla 4, nos queda la expresión:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 16}{D}_x[x^{\mathrm{-8}}]$
Y luego, usando la regla 3, obtenemos:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 16\; (\; -8\; )\; (}{x}^{\mathrm{-8\; -\; 1}})$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -128}{x}^{\mathrm{-9}}$