Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 10}{x}^7\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 3 ) = 21879 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 21879\; -\; 10}{\mathrm{(3)}}^7$
Lo que nos da que k = 9

$\mathrm{f(x)\; =\; 10}{x}^7\mathrm{+\; 9}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 14x\; +\; 89}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:
$D_x[a^u\mathrm{]\; =\; ln\; a\; ·}{a}^u·D_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}{D}_x\mathrm{[14x\; +\; 89])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 14\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}$

Explicación:

Si hacemos la sustitución directa de -4 en f(x) obtenemos la indeterminación matemática 0/0,
pero eso NO significa que el Límite No exista, pues podemos eliminar la indeterminación cancelando los terminos idénticos:

Ahora sí, para esta nueva expresión, hacemos la sustitución de -4 en f(x):
$\underset{\mathrm{x\to -4}}{\lim }?\mathrm{(\; x\; -\; 4\; )}=\underset{\mathrm{x\to -4}}{\lim }?\mathrm{(-4\; -\; 4)}$
Entonces, el límite es:

-8

Explicación:

Representamos los lados del rectángulo como: "x" y como "y".
Entonces su perímetro está dado por la expresión:

Como la malla tiene una longitud de 80 metros, el perímetro de nuestro rectángulo tendrá
exactamente esa medida, es decir:
$\mathrm{80\; =\; 2x\; +\; 2y}$
Despejamos "y" para dejarla en términos de "x", esto es:
$\mathrm{y\; =}\frac{\mathrm{80\; -\; 2x}}{2}$
Haciendo la división obtenemos:
$\mathrm{y\; =}\frac{\mathrm{80}}{2}\mathrm{-\; x}$
Es decir:
$\mathrm{y\; =\; 40\; -\; x}$
Ahora, el área del rectángulo está dada por:
$\mathrm{A\; =\; x\; y}$
Y sustituyendo "y" obtenemos la expresión:
$\mathrm{A(x)\; =\; x\; (40\; -\; x)}$
Multiplicando y acomodando nos da la función buscada:
$\mathrm{A(x)\; =\; -}{x}^2\mathrm{+\; 40x}$

Explicación:

Encontramos primero f'(x) usando las reglas que corresponden:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -42}{x}^6\mathrm{+\; 12}{x}^5\mathrm{-\; 5}$
Ahora derivamos esta expresión y obtenemos la respuesta:
$\mathrm{f\text{'}\text{'}(x)\; =\; -252}{x}^5\mathrm{+\; 60}{x}^4$

Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 1 por la izquierda, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a 12:
Entonces,
$\underset{\mathrm{x\to }{1}^{-}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; 12}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{a\; dx}\mathrm{=\; 10x\; +\; k}$
Resolviendo la integral nos da:

$\mathrm{f(x)\; =\; 17x}$
Evaluando en el intervalo [10, 13] nos queda:

$\mathrm{I\; =\; f(\; 13\; )\; -\; f(\; 10\; )}$
Lo que se traduce cómo:

$\mathrm{I\; =\; 17(13)\; -\; 17(10)}$

$\mathrm{I\; =\; 51}$

Explicación:

Si hacemos la sustitución directa de -9 en f(x) obtenemos la indeterminación matemática 0/0,
pero eso NO significa que el Límite No exista, pues podemos factorizar:
$\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{x^2\mathrm{+\; 5x\; -\; 36}}{\mathrm{x\; +\; 9}}=\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{\mathrm{(x\; +\; 9)\; (x\; -\; 4)}}{\mathrm{(x\; +\; 9)}}$
Podemos eliminar los términos idénticos, quedando la función de la siguiente forma:
$\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{\mathrm{(x\; +\; 9)\; (x\; -\; 4)}}{\mathrm{(x\; +\; 9)}}=\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\mathrm{(x\; -\; 4)}$
Ahora sí, para esta nueva expresión, hacemos la sustitución de -9 en f(x):
-9 - 4
Entonces, el límite es:
-13

Explicación:

Remplazando directamente valores nos queda:

S(177) = 177 ( 177 + 1) / 2
Realizando operaciones nos da:

∑ (1,177) = 15753
ó

S(177) = 15753

Explicación:

Derivamos la función A(x) y obtenemos:
$\mathrm{A\text{'}(x)\; =\; -2x\; +\; 47.5}$
Igualamos a cero para obtener la expresión:
$\mathrm{-2x\; +47.5\; =\; 0}$
Resolvemos dicha ecuación y encontramos:
$\mathrm{x\; =\; -\; 47.5/-2}$
Esto es, el punto crítico se encuentra en:
$\mathrm{x\; =\; 23.75}$