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Bachillerato

Cálculo diferencial e integral

Ayuda...

Utiliza la regla de la cadena para derivación de funciones exponenciales y logarítmicas:
$1) D_{x} [a^{u}] = ln a · a^{u} \cdot D_{x} [ u ]$
$2) D_{x} [e^{u}] = e^{u} \cdot D_{x} [ u ]$
$3) D_{x} [ ln u ] = \frac{D_{x} [ u ]}{u}$
Donde a es una constante y u es función de x

Encuentra la derivada f'(x) de la siguiente función:
$f(x) = ln (18 x^{2} + 83)$

\frac{36}{(18x + 83)}

\frac{36}{(18 x^{2} +83)}

\frac{36x}{(18 x^{2} +83)}

\frac{(18 x^{2} + 83)}{36x}

Explicación:

Haciendo:
$u = 18 x^{2} + 83$
Aplicando la regla de la cadena para la función logaritmo natural:
$D_{x} [ ln u ] = \frac{D_{x} [ u ]}{u}$
Y sustituyendo:
$f'(x) = \frac{D_{x} [18 x^{2} +83]}{(18 x^{2} +83)}$
Esto es, derivando:
$f'(x) = \frac{36x}{(18 x^{2} +83)}$

Ayuda...

Recuerda que:

&Sum; (1,n) = n ( n + 1) / 2

Encuentra la suma S(n) de:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 176 + 177

S(176) = 15753

S(177) = 15754

S(177) = 15753

S(177) = 15752

Ayuda...

Aplica las reglas básicas de derivación, según corresponda:
(k es una constante, u y v son funciones de x)

$1) D_{x} [ k ] = 0$

$2) D_{x} [ x ] = 1$

$3) D_{x} [x^{n}] = n x^{n-1}$

$4) D_{x} [ k u ] = k D_{x} [ u ]$

$5) D_{x} [ u ± v ] = D_{x} [ u ] ± D_{x} [ v ]$

$6) D_{x} [ u · v ] = D_{x} [ u ] · v + u · D_{x} [ v ]$

$7) D_{x} [\frac{u}{v}] = \frac{(D_{x} [ u ] · v - u · D_{x} [ v ] )}{v^{2}}$

Calcula la derivada f'(x) de la siguiente función:
$f(x) = -11x - 52$

52

-11 x - 52

x

-11

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_{x} [ -11x ] - D_{x} [ 52 ]$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$-11 D_{x} [ x ]$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_{x} [ x ] = 1$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_{x} [ 52 ] = 0$
y entonces el resultado es:
$f'(x) = -11 ( 1 ) - 0$
$f'(x) = -11$

Ayuda...

Aplica las reglas básicas de derivación, según corresponda:
$1) D_{x} [ k ] = 0$
$2) D_{x} [ x ] = 1$
$3) D_{x} [x^{n}] = n x^{n-1}$
$4) D_{x} [ k u ] = k D_{x} [ u ]$
$5) D_{x} [ u ± v ] = D_{x} [ u ] ± D_{x} [ v ]$
$6) D_{x} [ u · v ] = D_{x} [ u ] · v + u · D_{x} [ v ]$
$7) D_{x} [\frac{u}{v}] = \frac{(D_{x} [ u ] · v - u · D_{x} [ v ] )}{v^{2}}$
Donde: k es una constante, u y v son funciones de x.

Calcula la derivada f'(x) de la siguiente función:
$f(x) = 16 x^{-8}$

-128 x^{-8}

-128 x^{-9}

x^{-9}

16 x^{-9}

Explicación:

Aplicando la regla 4, nos queda la expresión:
$f'(x) = 16 D_{x} [x^{-8}]$
Y luego, usando la regla 3, obtenemos:
$f'(x) = 16 ( -8 ) (x^{-8 - 1})$
Entonces, la respuesta es:
$f'(x) = -128 x^{-9}$

Ayuda...

Vf = gt, donde g = 9.81 m/s²

Un niño arroja una piedra en un acantilado. Tras esperar 10.48 segundos, escucha que la piedra toca el fondo del acantilado. Determina la velocidad final de la piedra.

81.74 m/s

93.38 m/s

115.8 m/s

102.81 m/s

Dada la siguiente tabulación de la función:
$f(x) = a x^{2} + bx + c$

x	f(x)
0.9	-0.83
0.99	-0.9803
0.999	-0.998
0.9999	-0.9998

Encuentra:

$\lim_{x→ 1^{-}} ? f(x)$

-0.9998

-0.83

-1

Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 1 por la izquierda, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a -1:
Entonces,
$\lim_{x→ 1^{-}} ? f(x) = -1$

Ayuda...

La segunda derivada se define como:
$f''(x) = D_{x} [ f'(x) ] = D_{x} [D_{x} [ f(x) ] ]$

Dada la función:
$f(x) = cos (4x) + e^{-3x}$
Encuentra su segunda derivada f''(x)

- 16 cos (4x) + 9 e^{-3x}

- cos (4x) + e^{-3x}

- 16 sen (4x) + 9 e^{-3x}

- 4 sen (4x) - 3 e^{-3x}

Explicación:

Encontramos primero f'(x) usando las reglas que corresponden:
$f'(x) = - (4) sen (4x) - 3 e^{-3x}$
$f'(x) = - 4 sen (4x) - 3 e^{-3x}$
Ahora derivamos esta expresión y obtenemos la respuesta:
$f''(x) = - 16 cos (4x) + 9 e^{-3x}$

Sea:

$f'(x) = -18x$
encuentra su punto crítico

x= -9

x= 9

x= -3

x = 0

Explicación:

El punto critico es cuando f'(x) = 0 entonces:

$-18x = 0$
Cuando:

$x = 0$

Ayuda...

Recuerda que:

$\int a dx = 9x + k$

Encuentra la integral definida "I" en [9, 15] de:

$\int_{9}^{15} 10 dx$

I = 60

I = 61

I = 59

I = -60

Explicación:

Sabemos que:

$\int a dx = 9x + k$
Resolviendo la integral nos da:

$f(x) = 10x$
Evaluando en el intervalo [9, 15] nos queda:

$I = f( 15 ) - f( 9 )$
Lo que se traduce cómo:

$I = 10(15) - 10(9)$

$I = 60$

Ayuda...

Encuentra la derivada f'(x) de la siguiente función:
$f(x) = e^{( -14x + 4 )}$

(-14) e^{-14x}

(-14x + 4) e^{( -14x + 4 )}

(-14x) e^{-14x}

-14 e^{( -14x + 4 )}

Explicación:

Haciendo:
$u = -14x + 4$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:
$D_{x} [e^{u}] = e^{u} \cdot D_{x} [ u ]$
Y sustituyendo
$f'(x) = e^{( -14x + 4 )} (D_{x} [-14x + 4])$
Esto es, derivando y acomodando:
$f'(x) = -14 e^{( -14x + 4 )}$

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