Explicación:

Aplicando la fórmula de derivación del cociente:
f'(x) = ( D_x [4x⁵ + 2x] · (4x⁴ + 2) - (4x⁵ + 2x) · D_x [4x⁴ + 2] ) /  (4x⁴ + 2)²
Ahora, derivamos los polinomios para obtener:
f'(x) =  ( (20x⁴ + 2) (4x⁴ + 2) - (4x⁵ + 2x) (16x³) ) /  (4x⁴ + 2)²
Sustituyendo 1 en f'(x):
f'(1) =  [ (20(1)⁴ + 2) (4(1)⁴ + 2) - ( 4(1)⁵ + 2(1) ) (16(1)³) ] / (4(1)⁴ + 2)²
f'(1) = [ (20(1) + 2) (4(1) + 2) - (4(1) + 2(1)) (16(1)) ] / (4(1) + 2)²
f'(1) = [(20 + 2 ) (4 + 2) - (4 + 2) (16)] / (4 + 2)²
f'(1) = [(22) (6) - (6) (16)] / (6)²
f'(1) = (132 - 96) /36
f'(1) = 36 /36
Entonces, la respueta es:
f'(1) = 1

Explicación:

Realizandola por partes, nos queda como:

∫ 38x¹⁹ dx + ∫ 20x¹⁰ dx + ∫ 11 dx
Realizando cada integral nos queda:

∫ 38x¹⁹11dx = 2x²⁰

∫ 20 e^20x dx = e^20x

∫ 11 dx = 11x
Sumamos los resultados, ordenamos:

2x²⁰ + e^20x + 11x
Hacemos k como la suma de los ?x de las integrales

2x²⁰ + e^20x + 11x + k

Explicación:

Reescribimos la función como:
$\mathrm{f(x)\; =\; 8\; x1/7}$
Y a partir de esta expresión usamos la fórmula de derivación de potencias para obtener:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 8/7\; x-6/7}$
Y sustituyendo 5 en f'(x):
$\mathrm{f\text{'}(5)\; =\; 8/7\; (5)-6/7}$
De donde obtenemos:
$\mathrm{f\text{'}(5)\; =\; 0.288}$

Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 1 por la izquierda, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a 12:
Entonces,
$\underset{\mathrm{x\to }{1}^{-}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; 12}$

Explicación:

Para determinar la velocidad final de un móvil en caída libre, la fórmula que se debe usar es:

Vf = gt, donde g = 9.81 m/s².
Remplazando los valores que tenemos

VF = 9.81 (m/seg²) x 10.48 (seg) = 102.81 m/s
Entonces, la velocidad final de la piedra es de

102.81 m/s

Explicación:

Aplicando la regla D_X [ k u ] = k D_X [ u ], nos queda la expresión:

$3D_x[x^{\mathrm{-3}}]$
Y luego, usando la regla D_X [ x ⁿ ] = n x ^{n - 1}, obtenemos:

$3({\mathrm{-3x}}^{\mathrm{-3-1}})$
Entonces, la respuesta es:

$\mathrm{f\text{'}(x)=-9}{x}^{\mathrm{-4}}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{a\; dx}\mathrm{=\; 9x\; +\; k}$
Resolviendo la integral nos da:

$\mathrm{f(x)\; =\; 10x}$
Evaluando en el intervalo [9, 15] nos queda:

$\mathrm{I\; =\; f(\; 15\; )\; -\; f(\; 9\; )}$
Lo que se traduce cómo:

$\mathrm{I\; =\; 10(15)\; -\; 10(9)}$

$\mathrm{I\; =\; 60}$

Explicación:

La tabulación completa queda de la siguiente forma:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 2 por la derecha, los valores de sus imágenes f(x) se aproximan a -35, entonces:

$\underset{\mathrm{x\to }{2}^{+}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; -35}$

Explicación:

Resolviendola por sustitución, sea:

u = x² + 4
Su diferencial es:

du = 2x dx
Entonces:
du / 2 = x dx
Sustituyendo los términos encontrados nos queda una integral de la forma:

∫ 64 u⁷ du
Resolviendo nos da:

f(u) = 8u⁸ + k
Lo que es igual a:

f(x) = 8(x² + 4)⁸ + k

Explicación:

Aplicando la regla o teorema número 1 :
f'(x) = 0