Explicación:

Si hacemos la sustitución directa de -9 en f(x) obtenemos la indeterminación matemática 0/0,
pero eso NO significa que el Límite No exista, pues podemos factorizar:
$\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{x^2\mathrm{+\; 5x\; -\; 36}}{\mathrm{x\; +\; 9}}=\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{\mathrm{(x\; +\; 9)\; (x\; -\; 4)}}{\mathrm{(x\; +\; 9)}}$
Podemos eliminar los términos idénticos, quedando la función de la siguiente forma:
$\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{\mathrm{(x\; +\; 9)\; (x\; -\; 4)}}{\mathrm{(x\; +\; 9)}}=\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\mathrm{(x\; -\; 4)}$
Ahora sí, para esta nueva expresión, hacemos la sustitución de -9 en f(x):
-9 - 4
Entonces, el límite es:
-13

Explicación:

Representamos los lados del rectángulo como: "x" y como "y".
Entonces su perímetro está dado por la expresión:

Como la malla tiene una longitud de 80 metros, el perímetro de nuestro rectángulo tendrá
exactamente esa medida, es decir:
$\mathrm{80\; =\; 2x\; +\; 2y}$
Despejamos "y" para dejarla en términos de "x", esto es:
$\mathrm{y\; =}\frac{\mathrm{80\; -\; 2x}}{2}$
Haciendo la división obtenemos:
$\mathrm{y\; =}\frac{\mathrm{80}}{2}\mathrm{-\; x}$
Es decir:
$\mathrm{y\; =\; 40\; -\; x}$
Ahora, el área del rectángulo está dada por:
$\mathrm{A\; =\; x\; y}$
Y sustituyendo "y" obtenemos la expresión:
$\mathrm{A(x)\; =\; x\; (40\; -\; x)}$
Multiplicando y acomodando nos da la función buscada:
$\mathrm{A(x)\; =\; -}{x}^2\mathrm{+\; 40x}$

Explicación:

Aplicando la fórmula de derivación del cociente:
f'(x) = ( D_x [4x⁵ + 2x] · (4x⁴ + 2) - (4x⁵ + 2x) · D_x [4x⁴ + 2] ) /  (4x⁴ + 2)²
Ahora, derivamos los polinomios para obtener:
f'(x) =  ( (20x⁴ + 2) (4x⁴ + 2) - (4x⁵ + 2x) (16x³) ) /  (4x⁴ + 2)²
Sustituyendo 1 en f'(x):
f'(1) =  [ (20(1)⁴ + 2) (4(1)⁴ + 2) - ( 4(1)⁵ + 2(1) ) (16(1)³) ] / (4(1)⁴ + 2)²
f'(1) = [ (20(1) + 2) (4(1) + 2) - (4(1) + 2(1)) (16(1)) ] / (4(1) + 2)²
f'(1) = [(20 + 2 ) (4 + 2) - (4 + 2) (16)] / (4 + 2)²
f'(1) = [(22) (6) - (6) (16)] / (6)²
f'(1) = (132 - 96) /36
f'(1) = 36 /36
Entonces, la respueta es:
f'(1) = 1

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -11x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 52\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-11}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 52\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11\; (\; 1\; )\; -\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11}$

Explicación:

Aplicando la regla 5 y la regla 4 simultáneamente, separamos el polinomio:
$\mathrm{(-7)}{D}_x[x^9\mathrm{]\; +\; (4)}{D}_x[x^5\mathrm{]\; -\; (10)}{D}_x[x^4\mathrm{]\; +\; (4)}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 13\; ]}$
Y luego, usando las reglas 3, 2 y 1 obtenemos:
$\mathrm{(-7)(9)(}{x}^{\mathrm{9-1}}\mathrm{)\; +\; (4)(5)(}{x}^{\mathrm{5-1}}\mathrm{)\; -\; (10)\; (4)(}{x}^{\mathrm{4-1}}\mathrm{)\; +\; (4)(1)\; -\; 0}$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -63}{x}^8\mathrm{+\; 20}{x}^4\mathrm{-\; 40}{x}^3\mathrm{+\; 4}$

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{2.39}}{\int }}(x^2\mathrm{-\; 3)\; dx\; =\; (}\frac{x^3}{3}\mathrm{-\; 3x)}{|}_0^{\mathrm{2.39}}$

Evaluamos en 0 y en 2.39:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(2.39)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 2.62}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{2.39}}{\int }}({\mathrm{4\; -\; x}}^2\mathrm{)\; dx\; =\; (}\mathrm{4x\; -}\frac{x^3}{3}){|}_0^{\mathrm{2.39}}$

Evaluamos en 0 y en 2.39:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(2.39)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 5.01}$

por lo que el area entre las funciones en el rango [0, 2.39] es

$\mathrm{A\; =\; 2.62\; -\; 5.01}$

$\mathrm{A\; =\; 7.63}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 10}{x}^7\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 3 ) = 21879 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 21879\; -\; 10}{\mathrm{(3)}}^7$
Lo que nos da que k = 9

$\mathrm{f(x)\; =\; 10}{x}^7\mathrm{+\; 9}$

Explicación:

Si hacemos la sustitución directa de -4 en f(x) obtenemos la indeterminación matemática 0/0,
pero eso NO significa que el Límite No exista, pues podemos eliminar la indeterminación cancelando los terminos idénticos:

Ahora sí, para esta nueva expresión, hacemos la sustitución de -4 en f(x):
$\underset{\mathrm{x\to -4}}{\lim }?\mathrm{(\; x\; -\; 4\; )}=\underset{\mathrm{x\to -4}}{\lim }?\mathrm{(-4\; -\; 4)}$
Entonces, el límite es:

-8

Explicación:

Resolviendo por partes:

∫ 12x¹¹ = x¹² + ?x

∫ 6x⁵ = x⁶ + ?x
Sumando y ordenando obtenemos que:

f(x) = x¹² + x⁶ + ?x
O bien:

f(x) = x¹² + x⁶ + k

Explicación:

La tabulación completa queda de la siguiente forma:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 2 por la derecha, los valores de sus imágenes f(x) se aproximan a -35, entonces:

$\underset{\mathrm{x\to }{2}^{+}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; -35}$