Explicación:

Resolviendola por sustitución, sea:

u = x² + 4
Su diferencial es:

du = 2x dx
Entonces:
du / 2 = x dx
Sustituyendo los términos encontrados nos queda una integral de la forma:

∫ 64 u⁷ du
Resolviendo nos da:

f(u) = 8u⁸ + k
Lo que es igual a:

f(x) = 8(x² + 4)⁸ + k

Explicación:

Aplicando la regla 5 y la regla 4 simultáneamente, separamos el polinomio:
$\mathrm{(-7)}{D}_x[x^9\mathrm{]\; +\; (4)}{D}_x[x^5\mathrm{]\; -\; (10)}{D}_x[x^4\mathrm{]\; +\; (4)}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 13\; ]}$
Y luego, usando las reglas 3, 2 y 1 obtenemos:
$\mathrm{(-7)(9)(}{x}^{\mathrm{9-1}}\mathrm{)\; +\; (4)(5)(}{x}^{\mathrm{5-1}}\mathrm{)\; -\; (10)\; (4)(}{x}^{\mathrm{4-1}}\mathrm{)\; +\; (4)(1)\; -\; 0}$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -63}{x}^8\mathrm{+\; 20}{x}^4\mathrm{-\; 40}{x}^3\mathrm{+\; 4}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{a\; dx}\mathrm{=\; 10x\; +\; k}$
Resolviendo la integral nos da:

$\mathrm{f(x)\; =\; 17x}$
Evaluando en el intervalo [10, 13] nos queda:

$\mathrm{I\; =\; f(\; 13\; )\; -\; f(\; 10\; )}$
Lo que se traduce cómo:

$\mathrm{I\; =\; 17(13)\; -\; 17(10)}$

$\mathrm{I\; =\; 51}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; -14x\; +\; 4}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:

Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}{e}^{\mathrm{(\; -14x\; +\; 4\; )}}(D_x\mathrm{[-14x\; +\; 4])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -14}{e}^{\mathrm{(\; -14x\; +\; 4\; )}}$

Explicación:

Si hacemos la sustitución directa de -4 en f(x) obtenemos la indeterminación matemática 0/0,
pero eso NO significa que el Límite No exista, pues podemos eliminar la indeterminación cancelando los terminos idénticos:

Ahora sí, para esta nueva expresión, hacemos la sustitución de -4 en f(x):
$\underset{\mathrm{x\to -4}}{\lim }?\mathrm{(\; x\; -\; 4\; )}=\underset{\mathrm{x\to -4}}{\lim }?\mathrm{(-4\; -\; 4)}$
Entonces, el límite es:

-8

Explicación:

Podemos observar que si

u =   x¹⁰

entonces 

du = 10 x⁹ 

observa que 70 = ( 7 )( 10 ) entonces podemos aplicar directamente

∫ sec² u du = tan u&

Realizando nos da igual a

7 tan( x¹⁰ )

agregamos k

7 tan( x¹⁰ ) + k

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{2.39}}{\int }}(x^2\mathrm{-\; 3)\; dx\; =\; (}\frac{x^3}{3}\mathrm{-\; 3x)}{|}_0^{\mathrm{2.39}}$

Evaluamos en 0 y en 2.39:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(2.39)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 2.62}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{2.39}}{\int }}({\mathrm{4\; -\; x}}^2\mathrm{)\; dx\; =\; (}\mathrm{4x\; -}\frac{x^3}{3}){|}_0^{\mathrm{2.39}}$

Evaluamos en 0 y en 2.39:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(2.39)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 5.01}$

por lo que el area entre las funciones en el rango [0, 2.39] es

$\mathrm{A\; =\; 2.62\; -\; 5.01}$

$\mathrm{A\; =\; 7.63}$

Explicación:

Aplicando la regla 5 y la regla 4 simultáneamente, separamos el polinomio:
$\mathrm{(2)}{D}_x[x^9\mathrm{]\; -\; (10)}{D}_x[x^5\mathrm{]\; +\; (6)}{D}_x[x^3\mathrm{]\; -\; (5)}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]\; +}{D}_x\mathrm{[\; 2\; ]}$
Y luego, usando las reglas 3, 2 y 1 obtenemos:
$\mathrm{(2)(9)(}{x}^{\mathrm{9-1}}\mathrm{)\; -\; (10)(5)(}{x}^{\mathrm{5-1}}\mathrm{)\; +\; (6)\; (3)(}{x}^{\mathrm{3-1}}\mathrm{)\; -\; (5)(1)\; +\; 0}$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 18}{x}^8\mathrm{-\; 50}{x}^4\mathrm{+\; 18}{x}^2\mathrm{-\; 5}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 2 ) = 5642 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 5642\; -\; 11}{\mathrm{(2)}}^9$
Lo que nos da que k = 10

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; 10}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{a\; dx}\mathrm{=\; 9x\; +\; k}$
Resolviendo la integral nos da:

$\mathrm{f(x)\; =\; 10x}$
Evaluando en el intervalo [9, 15] nos queda:

$\mathrm{I\; =\; f(\; 15\; )\; -\; f(\; 9\; )}$
Lo que se traduce cómo:

$\mathrm{I\; =\; 10(15)\; -\; 10(9)}$

$\mathrm{I\; =\; 60}$