Explicación:

Si hacemos la sustitución directa de -4 en f(x) obtenemos la indeterminación matemática 0/0,
pero eso NO significa que el Límite No exista, pues podemos eliminar la indeterminación cancelando los terminos idénticos:

Ahora sí, para esta nueva expresión, hacemos la sustitución de -4 en f(x):
$\underset{\mathrm{x\to -4}}{\lim }?\mathrm{(\; x\; -\; 4\; )}=\underset{\mathrm{x\to -4}}{\lim }?\mathrm{(-4\; -\; 4)}$
Entonces, el límite es:

-8

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 14x\; +\; 89}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:
$D_x[a^u\mathrm{]\; =\; ln\; a\; ·}{a}^u·D_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}{D}_x\mathrm{[14x\; +\; 89])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 14\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 18}{x}^2\mathrm{+\; 83}$
Aplicando la regla de la cadena para la función logaritmo natural:
$D_x\mathrm{[\; ln\; u\; ]\; =}\frac{D_x\mathrm{[\; u\; ]}}{u}$
Y sustituyendo:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{D_x\mathrm{[18}{x}^2\mathrm{+83]}}{\mathrm{(18}{x}^2\mathrm{+83)}}$
Esto es, derivando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{\mathrm{36x}}{\mathrm{(18}{x}^2\mathrm{+83)}}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; -12x\; +\; 82}$
Aplicando la regla de la cadena:
$D_x\mathrm{[\; sen\; u\; ]\; =\; (cos\; u)\; ·}{D}_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; cos(\; -12x\; +\; 82\; )}{D}_x\mathrm{(\; -12x\; +\; 82\; )}$
Esto es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -12\; cos(\; -12x\; +\; 82\; )}$

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{\mathrm{-2.5}}{\overset{\mathrm{0.68}}{\int }}(\frac{x}{4}\mathrm{+\; 9)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{8}\mathrm{+\; 9x)}{|}_{\mathrm{-2.5}}^{\mathrm{0.68}}$

Evaluamos en -2.5 y en 0.68:

$\mathrm{I(-2.5)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.68)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 27.9}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{\mathrm{-2.5}}{\overset{\mathrm{0.68}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_{\mathrm{-2.5}}^{\mathrm{0.68}}$

Entonces evaluamos en -2.5 y en 0.68:

$\mathrm{I(-2.5)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.68)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 5.31}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [-2.5, 0.68] es:

$\mathrm{A\; =\; 27.9\; -\; 5.31}$

$\mathrm{A\; =\; 22.58}$

Explicación:

Aplicando la regla 4, nos queda la expresión:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 16}{D}_x[x^{\mathrm{-8}}]$
Y luego, usando la regla 3, obtenemos:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 16\; (\; -8\; )\; (}{x}^{\mathrm{-8\; -\; 1}})$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -128}{x}^{\mathrm{-9}}$

Explicación:

Aplicando la regla 5 y la regla 4 simultáneamente, separamos el polinomio:
$\mathrm{(2)}{D}_x[x^9\mathrm{]\; -\; (10)}{D}_x[x^5\mathrm{]\; +\; (6)}{D}_x[x^3\mathrm{]\; -\; (5)}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]\; +}{D}_x\mathrm{[\; 2\; ]}$
Y luego, usando las reglas 3, 2 y 1 obtenemos:
$\mathrm{(2)(9)(}{x}^{\mathrm{9-1}}\mathrm{)\; -\; (10)(5)(}{x}^{\mathrm{5-1}}\mathrm{)\; +\; (6)\; (3)(}{x}^{\mathrm{3-1}}\mathrm{)\; -\; (5)(1)\; +\; 0}$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 18}{x}^8\mathrm{-\; 50}{x}^4\mathrm{+\; 18}{x}^2\mathrm{-\; 5}$

Explicación:

Encontramos primero f'(x) usando las reglas que corresponden:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -\; (4)\; sen\; (4x)\; -\; 3}{e}^{\mathrm{-3x}}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -\; 4\; sen\; (4x)\; -\; 3}{e}^{\mathrm{-3x}}$
Ahora derivamos esta expresión y obtenemos la respuesta:
$\mathrm{f\text{'}\text{'}(x)\; =\; -\; 16\; cos\; (4x)\; +\; 9}{e}^{\mathrm{-3x}}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 2 ) = 5642 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 5642\; -\; 11}{\mathrm{(2)}}^9$
Lo que nos da que k = 10

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; 10}$

Explicación:

Sabemos que:

$\mathrm{?x\; =}{x}_2-x_1$
Remplazando nos queda que:

$\mathrm{?x\; =\; (\; 13\; )\; -\; (\; 4\; )}$
Lo que nos da:

$\mathrm{?x\; =\; 9}$