Explicación:

Utilizando la regla la derivada de una funcion lineal nos da:

$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; \$2a\$x}$

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -9x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 24\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-9}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 24\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -9\; (\; 1\; )\; -\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -9}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 14x\; +\; 89}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:
$D_x[a^u\mathrm{]\; =\; ln\; a\; ·}{a}^u·D_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}{D}_x\mathrm{[14x\; +\; 89])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 14\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 3}{x}^2\mathrm{+\; 76}$
Aplicando la regla de la cadena para la función logaritmo natural:
$D_x\mathrm{[\; ln\; u\; ]\; =}\frac{D_x\mathrm{[\; u\; ]}}{u}$
Y sustituyendo:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{D_x\mathrm{[3}{x}^2\mathrm{+76]}}{\mathrm{(3}{x}^2\mathrm{+76)}}$
Esto es, derivando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{\mathrm{6x}}{\mathrm{(3}{x}^2\mathrm{+76)}}$

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}(\frac{x}{3}\mathrm{+\; 8)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{6}\mathrm{+\; 8x)}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 5.19}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Entonces evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 0.09}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [0, 0.64] es:

$\mathrm{A\; =\; 5.19\; -\; 0.09}$

$\mathrm{A\; =\; 5.1}$

Explicación:

La tabulación completa queda de la siguiente forma:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 2 por la derecha, los valores de sus imágenes f(x) se aproximan a -35, entonces:

$\underset{\mathrm{x\to }{2}^{+}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; -35}$

Explicación:

Realizandola por partes, nos queda como:

∫ 38x¹⁹ dx + ∫ 20x¹⁰ dx + ∫ 11 dx
Realizando cada integral nos queda:

∫ 38x¹⁹11dx = 2x²⁰

∫ 20 e^20x dx = e^20x

∫ 11 dx = 11x
Sumamos los resultados, ordenamos:

2x²⁰ + e^20x + 11x
Hacemos k como la suma de los ?x de las integrales

2x²⁰ + e^20x + 11x + k

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -11x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 52\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-11}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 52\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11\; (\; 1\; )\; -\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11}$

Explicación:

El punto critico es cuando f'(x) = 0 entonces:

$\mathrm{-18x\; =\; 0}$
Cuando:

$\mathrm{x\; =\; 0}$

Explicación:

Derivamos la función A(x) y obtenemos:
$\mathrm{A\text{'}(x)\; =\; -2x\; +\; 47.5}$
Igualamos a cero para obtener la expresión:
$\mathrm{-2x\; +47.5\; =\; 0}$
Resolvemos dicha ecuación y encontramos:
$\mathrm{x\; =\; -\; 47.5/-2}$
Esto es, el punto crítico se encuentra en:
$\mathrm{x\; =\; 23.75}$