Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 3}{x}^2\mathrm{+\; 76}$
Aplicando la regla de la cadena para la función logaritmo natural:
$D_x\mathrm{[\; ln\; u\; ]\; =}\frac{D_x\mathrm{[\; u\; ]}}{u}$
Y sustituyendo:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{D_x\mathrm{[3}{x}^2\mathrm{+76]}}{\mathrm{(3}{x}^2\mathrm{+76)}}$
Esto es, derivando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{\mathrm{6x}}{\mathrm{(3}{x}^2\mathrm{+76)}}$

Explicación:

Aplicando la regla o teorema número 1 :
f'(x) = 0

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 14x\; +\; 89}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:
$D_x[a^u\mathrm{]\; =\; ln\; a\; ·}{a}^u·D_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}{D}_x\mathrm{[14x\; +\; 89])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 14\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}$

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}(\frac{x}{3}\mathrm{+\; 8)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{6}\mathrm{+\; 8x)}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 5.19}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Entonces evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 0.09}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [0, 0.64] es:

$\mathrm{A\; =\; 5.19\; –\; 0.09}$

$\mathrm{A\; =\; 5.1}$

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{\mathrm{-2.5}}{\overset{\mathrm{0.68}}{\int }}(\frac{x}{4}\mathrm{+\; 9)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{8}\mathrm{+\; 9x)}{|}_{\mathrm{-2.5}}^{\mathrm{0.68}}$

Evaluamos en -2.5 y en 0.68:

$\mathrm{I(-2.5)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.68)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 27.9}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{\mathrm{-2.5}}{\overset{\mathrm{0.68}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_{\mathrm{-2.5}}^{\mathrm{0.68}}$

Entonces evaluamos en -2.5 y en 0.68:

$\mathrm{I(-2.5)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.68)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 5.31}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [-2.5, 0.68] es:

$\mathrm{A\; =\; 27.9\; –\; 5.31}$

$\mathrm{A\; =\; 22.58}$

Explicación:

Aplicando la regla 5 y la regla 4 simultáneamente, separamos el polinomio:
$\mathrm{(-7)}{D}_x[x^9\mathrm{]\; +\; (4)}{D}_x[x^5\mathrm{]\; –\; (10)}{D}_x[x^4\mathrm{]\; +\; (4)}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]\; –}{D}_x\mathrm{[\; 13\; ]}$
Y luego, usando las reglas 3, 2 y 1 obtenemos:
$\mathrm{(-7)(9)(}{x}^{\mathrm{9-1}}\mathrm{)\; +\; (4)(5)(}{x}^{\mathrm{5-1}}\mathrm{)\; –\; (10)\; (4)(}{x}^{\mathrm{4-1}}\mathrm{)\; +\; (4)(1)\; –\; 0}$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -63}{x}^8\mathrm{+\; 20}{x}^4\mathrm{–\; 40}{x}^3\mathrm{+\; 4}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 2 ) = 5642 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 5642\; –\; 11}{\mathrm{(2)}}^9$
Lo que nos da que k = 10

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; 10}$

Explicación:

Tomando la expresión como:
$\mathrm{u\; =}{v}^{\mathrm{-3}}$
$\mathrm{v\; =\; -7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3}$
Aplicando la regla de la cadena:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3}{v}^{\mathrm{-3-1}}·D_x\mathrm{[\; v\; ]}$
Esto es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-3\; –\; 1}}·D_x\mathrm{[\; -7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3\; ]}$
Obtenemos la derivada para el polinomio:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-4}}\mathrm{(\; -63}{x}^8\mathrm{+\; 12}{x}^3\mathrm{+\; 4\; )}$
Reacomodamos:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3(\; -63}{x}^8\mathrm{+\; 12}{x}^3\mathrm{+\; 4\; )}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-4}}$
Y entonces la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (\; 189}{x}^8\mathrm{–\; 36}{x}^3\mathrm{–\; 12\; )}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-4}}$

Explicación:

Representamos los lados del rectángulo como: «x» y como «y».
Entonces su perímetro está dado por la expresión:

Como la malla tiene una longitud de 80 metros, el perímetro de nuestro rectángulo tendrá
exactamente esa medida, es decir:
$\mathrm{80\; =\; 2x\; +\; 2y}$
Despejamos «y» para dejarla en términos de «x», esto es:
$\mathrm{y\; =}\frac{\mathrm{80\; –\; 2x}}{2}$
Haciendo la división obtenemos:
$\mathrm{y\; =}\frac{\mathrm{80}}{2}\mathrm{–\; x}$
Es decir:
$\mathrm{y\; =\; 40\; –\; x}$
Ahora, el área del rectángulo está dada por:
$\mathrm{A\; =\; x\; y}$
Y sustituyendo «y» obtenemos la expresión:
$\mathrm{A(x)\; =\; x\; (40\; –\; x)}$
Multiplicando y acomodando nos da la función buscada:
$\mathrm{A(x)\; =\; –}{x}^2\mathrm{+\; 40x}$

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -11x\; ]\; –}{D}_x\mathrm{[\; 52\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-11}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 52\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11\; (\; 1\; )\; –\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11}$