Explicación:

Resolviendola por sustitución, sea:

u = x² + 3
Su diferencial es:

du = 2x dx
Entonces:
du / 2 = x dx
Sustituyendo los términos encontrados nos queda una integral de la forma:

∫ 81 u⁸ du
Resolviendo nos da:

f(u) = 9u⁹ + k
Lo que es igual a:

f(x) = 9(x² + 3)⁹ + k

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -11x\; ]\; –}{D}_x\mathrm{[\; 52\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-11}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 52\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11\; (\; 1\; )\; –\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11}$

Explicación:

Aplicando la regla o teorema número 1 :
f'(x) = 0

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{a\; dx}\mathrm{=\; 9x\; +\; k}$
Resolviendo la integral nos da:

$\mathrm{f(x)\; =\; 10x}$
Evaluando en el intervalo [9, 15] nos queda:

$\mathrm{I\; =\; f(\; 15\; )\; –\; f(\; 9\; )}$
Lo que se traduce cómo:

$\mathrm{I\; =\; 10(15)\; –\; 10(9)}$

$\mathrm{I\; =\; 60}$

Explicación:

Podemos observar que si

u =   x¹⁰

entonces 

du = 10 x⁹ 

observa que 40 = ( 4 )( 10 ) entonces podemos aplicar directamente

∫ sec² u du = tan u&

Realizando nos da igual a

4 tan( x¹⁰ )

agregamos k

4 tan( x¹⁰ ) + k

Explicación:

Podemos observar que si

u =   x¹⁰

entonces 

du = 10 x⁹ 

observa que 70 = ( 7 )( 10 ) entonces podemos aplicar directamente

∫ sec² u du = tan u&

Realizando nos da igual a

7 tan( x¹⁰ )

agregamos k

7 tan( x¹⁰ ) + k

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}(\frac{x}{3}\mathrm{+\; 8)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{6}\mathrm{+\; 8x)}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 5.19}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Entonces evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 0.09}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [0, 0.64] es:

$\mathrm{A\; =\; 5.19\; –\; 0.09}$

$\mathrm{A\; =\; 5.1}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 10}{x}^7\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 3 ) = 21879 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 21879\; –\; 10}{\mathrm{(3)}}^7$
Lo que nos da que k = 9

$\mathrm{f(x)\; =\; 10}{x}^7\mathrm{+\; 9}$

Explicación:

Remplazando directamente valores nos queda:

S(177) = 177 ( 177 + 1) / 2
Realizando operaciones nos da:

∑ (1,177) = 15753
ó

S(177) = 15753

Explicación:

Aplicando la regla D_X [ k u ] = k D_X [ u ], nos queda la expresión:

$3D_x[x^{\mathrm{-3}}]$
Y luego, usando la regla D_X [ x ⁿ ] = n x ^{n – 1}, obtenemos:

$3({\mathrm{-3x}}^{\mathrm{-3-1}})$
Entonces, la respuesta es:

$\mathrm{f\text{'}(x)=-9}{x}^{\mathrm{-4}}$