Explicación:

Resolviendo por partes:

∫ 12x¹¹ = x¹² + ?x

∫ 6x⁵ = x⁶ + ?x
Sumando y ordenando obtenemos que:

f(x) = x¹² + x⁶ + ?x
O bien:

f(x) = x¹² + x⁶ + k

Explicación:

Utilizando la regla la derivada de una funcion lineal nos da:

$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; \$2a\$x}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 2 ) = 5642 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 5642\; –\; 11}{\mathrm{(2)}}^9$
Lo que nos da que k = 10

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; 10}$

Explicación:

Aplicando la regla 5 y la regla 4 simultáneamente, separamos el polinomio:
$\mathrm{(2)}{D}_x[x^9\mathrm{]\; –\; (10)}{D}_x[x^5\mathrm{]\; +\; (6)}{D}_x[x^3\mathrm{]\; –\; (5)}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]\; +}{D}_x\mathrm{[\; 2\; ]}$
Y luego, usando las reglas 3, 2 y 1 obtenemos:
$\mathrm{(2)(9)(}{x}^{\mathrm{9-1}}\mathrm{)\; –\; (10)(5)(}{x}^{\mathrm{5-1}}\mathrm{)\; +\; (6)\; (3)(}{x}^{\mathrm{3-1}}\mathrm{)\; –\; (5)(1)\; +\; 0}$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 18}{x}^8\mathrm{–\; 50}{x}^4\mathrm{+\; 18}{x}^2\mathrm{–\; 5}$

Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 1 por la izquierda, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a -1:
Entonces,
$\underset{\mathrm{x\to }{1}^{–}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; -1}$

Explicación:

Sabemos que:

$\mathrm{?x\; =}{x}_2–x_1$
Remplazando nos queda que:

$\mathrm{?x\; =\; (\; 13\; )\; –\; (\; 4\; )}$
Lo que nos da:

$\mathrm{?x\; =\; 9}$

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 10}{x}^7\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 3 ) = 21879 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 21879\; –\; 10}{\mathrm{(3)}}^7$
Lo que nos da que k = 9

$\mathrm{f(x)\; =\; 10}{x}^7\mathrm{+\; 9}$

Explicación:

Aplicando la regla 5 y la regla 4 simultáneamente, separamos el polinomio:
$\mathrm{(-7)}{D}_x[x^9\mathrm{]\; +\; (4)}{D}_x[x^5\mathrm{]\; –\; (10)}{D}_x[x^4\mathrm{]\; +\; (4)}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]\; –}{D}_x\mathrm{[\; 13\; ]}$
Y luego, usando las reglas 3, 2 y 1 obtenemos:
$\mathrm{(-7)(9)(}{x}^{\mathrm{9-1}}\mathrm{)\; +\; (4)(5)(}{x}^{\mathrm{5-1}}\mathrm{)\; –\; (10)\; (4)(}{x}^{\mathrm{4-1}}\mathrm{)\; +\; (4)(1)\; –\; 0}$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -63}{x}^8\mathrm{+\; 20}{x}^4\mathrm{–\; 40}{x}^3\mathrm{+\; 4}$

Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 3 por la derecha, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a 44:
Entonces,
$\underset{\mathrm{x\to }{3}^{+}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; 44}$

Explicación:

La tabulación completa queda de la siguiente forma:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 2 por la derecha, los valores de sus imágenes f(x) se aproximan a -35, entonces:

$\underset{\mathrm{x\to }{2}^{+}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; -35}$