Explicación:

Resolviendola por sustitución, sea:

u = x² + 3
Su diferencial es:

du = 2x dx
Entonces:
du / 2 = x dx
Sustituyendo los términos encontrados nos queda una integral de la forma:

∫ 81 u⁸ du
Resolviendo nos da:

f(u) = 9u⁹ + k
Lo que es igual a:

f(x) = 9(x² + 3)⁹ + k

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{\mathrm{-2.5}}{\overset{\mathrm{0.68}}{\int }}(\frac{x}{4}\mathrm{+\; 9)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{8}\mathrm{+\; 9x)}{|}_{\mathrm{-2.5}}^{\mathrm{0.68}}$

Evaluamos en -2.5 y en 0.68:

$\mathrm{I(-2.5)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.68)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 27.9}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{\mathrm{-2.5}}{\overset{\mathrm{0.68}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_{\mathrm{-2.5}}^{\mathrm{0.68}}$

Entonces evaluamos en -2.5 y en 0.68:

$\mathrm{I(-2.5)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.68)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 5.31}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [-2.5, 0.68] es:

$\mathrm{A\; =\; 27.9\; –\; 5.31}$

$\mathrm{A\; =\; 22.58}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; -12x\; +\; 82}$
Aplicando la regla de la cadena:
$D_x\mathrm{[\; sen\; u\; ]\; =\; (cos\; u)\; ·}{D}_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; cos(\; -12x\; +\; 82\; )}{D}_x\mathrm{(\; -12x\; +\; 82\; )}$
Esto es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -12\; cos(\; -12x\; +\; 82\; )}$

Explicación:

Utilizando la regla la derivada de una funcion lineal nos da:

$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; \$2a\$x}$

Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 1 por la izquierda, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a 12:
Entonces,
$\underset{\mathrm{x\to }{1}^{–}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; 12}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 3}{x}^2\mathrm{+\; 76}$
Aplicando la regla de la cadena para la función logaritmo natural:
$D_x\mathrm{[\; ln\; u\; ]\; =}\frac{D_x\mathrm{[\; u\; ]}}{u}$
Y sustituyendo:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{D_x\mathrm{[3}{x}^2\mathrm{+76]}}{\mathrm{(3}{x}^2\mathrm{+76)}}$
Esto es, derivando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{\mathrm{6x}}{\mathrm{(3}{x}^2\mathrm{+76)}}$

Explicación:

Realizandola por partes, nos queda como:

∫ 38x¹⁹ dx + ∫ 20x¹⁰ dx + ∫ 11 dx
Realizando cada integral nos queda:

∫ 38x¹⁹11dx = 2x²⁰

∫ 20 e^20x dx = e^20x

∫ 11 dx = 11x
Sumamos los resultados, ordenamos:

2x²⁰ + e^20x + 11x
Hacemos k como la suma de los ?x de las integrales

2x²⁰ + e^20x + 11x + k

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{a\; dx}\mathrm{=\; 10x\; +\; k}$
Resolviendo la integral nos da:

$\mathrm{f(x)\; =\; 17x}$
Evaluando en el intervalo [10, 13] nos queda:

$\mathrm{I\; =\; f(\; 13\; )\; –\; f(\; 10\; )}$
Lo que se traduce cómo:

$\mathrm{I\; =\; 17(13)\; –\; 17(10)}$

$\mathrm{I\; =\; 51}$

Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 1 por la izquierda, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a -1:
Entonces,
$\underset{\mathrm{x\to }{1}^{–}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; -1}$

Explicación:

Podemos observar que si

u =   x¹⁰

entonces 

du = 10 x⁹ 

observa que 70 = ( 7 )( 10 ) entonces podemos aplicar directamente

∫ sec² u du = tan u&

Realizando nos da igual a

7 tan( x¹⁰ )

agregamos k

7 tan( x¹⁰ ) + k