Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{\mathrm{-0.39}}{\overset{\mathrm{0.39}}{\int }}(x^2\mathrm{-\; 2)\; dx\; =\; (}\frac{x^3}{3}\mathrm{-\; 2x)}{|}_{\mathrm{-0.39}}^{\mathrm{0.39}}$

Evaluamos en -0.39 y en 0.39:

$\mathrm{I(-0.39)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.39)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 1.52}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{\mathrm{-0.39}}{\overset{\mathrm{0.39}}{\int }}(\frac{x}{3}\mathrm{+\; 2)\; dx\; =\; (}\frac{x^3}{6}\mathrm{+\; 2x)}{|}_{\mathrm{-0.39}}^{\mathrm{0.39}}$

Entonces evaluamos en -0.39 y en 0.39:

$\mathrm{I(-0.39)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.39)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 1.56}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [-0.39, 0.39] es:

$\mathrm{A\; =\; 1.52\; -\; 1.56}$

$\mathrm{A\; =\; 3.08}$

Explicación:

Realizandola por partes, nos queda como:

∫ 38x¹⁹ dx + ∫ 20x¹⁰ dx + ∫ 11 dx
Realizando cada integral nos queda:

∫ 38x¹⁹11dx = 2x²⁰

∫ 20 e^20x dx = e^20x

∫ 11 dx = 11x
Sumamos los resultados, ordenamos:

2x²⁰ + e^20x + 11x
Hacemos k como la suma de los ?x de las integrales

2x²⁰ + e^20x + 11x + k

Explicación:

Encontramos primero f'(x) usando las reglas que corresponden:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -42}{x}^6\mathrm{+\; 12}{x}^5\mathrm{-\; 5}$
Ahora derivamos esta expresión y obtenemos la respuesta:
$\mathrm{f\text{'}\text{'}(x)\; =\; -252}{x}^5\mathrm{+\; 60}{x}^4$

Explicación:

Aplicando la regla 5 y la regla 4 simultáneamente, separamos el polinomio:
$\mathrm{(2)}{D}_x[x^9\mathrm{]\; -\; (10)}{D}_x[x^5\mathrm{]\; +\; (6)}{D}_x[x^3\mathrm{]\; -\; (5)}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]\; +}{D}_x\mathrm{[\; 2\; ]}$
Y luego, usando las reglas 3, 2 y 1 obtenemos:
$\mathrm{(2)(9)(}{x}^{\mathrm{9-1}}\mathrm{)\; -\; (10)(5)(}{x}^{\mathrm{5-1}}\mathrm{)\; +\; (6)\; (3)(}{x}^{\mathrm{3-1}}\mathrm{)\; -\; (5)(1)\; +\; 0}$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 18}{x}^8\mathrm{-\; 50}{x}^4\mathrm{+\; 18}{x}^2\mathrm{-\; 5}$

Explicación:

Utilizando la regla la derivada de una funcion lineal nos da:

$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; \$2a\$x}$

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{2.39}}{\int }}(x^2\mathrm{-\; 3)\; dx\; =\; (}\frac{x^3}{3}\mathrm{-\; 3x)}{|}_0^{\mathrm{2.39}}$

Evaluamos en 0 y en 2.39:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(2.39)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 2.62}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{2.39}}{\int }}({\mathrm{4\; -\; x}}^2\mathrm{)\; dx\; =\; (}\mathrm{4x\; -}\frac{x^3}{3}){|}_0^{\mathrm{2.39}}$

Evaluamos en 0 y en 2.39:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(2.39)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 5.01}$

por lo que el area entre las funciones en el rango [0, 2.39] es

$\mathrm{A\; =\; 2.62\; -\; 5.01}$

$\mathrm{A\; =\; 7.63}$

Explicación:

Resolviendola por sustitución, sea:

u = x² + 3
Su diferencial es:

du = 2x dx
Entonces:
du / 2 = x dx
Sustituyendo los términos encontrados nos queda una integral de la forma:

∫ 81 u⁸ du
Resolviendo nos da:

f(u) = 9u⁹ + k
Lo que es igual a:

f(x) = 9(x² + 3)⁹ + k

Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{a\; dx}\mathrm{=\; 9x\; +\; k}$
Resolviendo la integral nos da:

$\mathrm{f(x)\; =\; 10x}$
Evaluando en el intervalo [9, 15] nos queda:

$\mathrm{I\; =\; f(\; 15\; )\; -\; f(\; 9\; )}$
Lo que se traduce cómo:

$\mathrm{I\; =\; 10(15)\; -\; 10(9)}$

$\mathrm{I\; =\; 60}$

Explicación:

Aplicando la fórmula de derivación del cociente:
f'(x) = ( D_x [4x⁵ + 2x] · (4x⁴ + 2) - (4x⁵ + 2x) · D_x [4x⁴ + 2] ) /  (4x⁴ + 2)²
Ahora, derivamos los polinomios para obtener:
f'(x) =  ( (20x⁴ + 2) (4x⁴ + 2) - (4x⁵ + 2x) (16x³) ) /  (4x⁴ + 2)²
Sustituyendo 1 en f'(x):
f'(1) =  [ (20(1)⁴ + 2) (4(1)⁴ + 2) - ( 4(1)⁵ + 2(1) ) (16(1)³) ] / (4(1)⁴ + 2)²
f'(1) = [ (20(1) + 2) (4(1) + 2) - (4(1) + 2(1)) (16(1)) ] / (4(1) + 2)²
f'(1) = [(20 + 2 ) (4 + 2) - (4 + 2) (16)] / (4 + 2)²
f'(1) = [(22) (6) - (6) (16)] / (6)²
f'(1) = (132 - 96) /36
f'(1) = 36 /36
Entonces, la respueta es:
f'(1) = 1

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{\mathrm{-2.5}}{\overset{\mathrm{0.68}}{\int }}(\frac{x}{4}\mathrm{+\; 9)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{8}\mathrm{+\; 9x)}{|}_{\mathrm{-2.5}}^{\mathrm{0.68}}$

Evaluamos en -2.5 y en 0.68:

$\mathrm{I(-2.5)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.68)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 27.9}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{\mathrm{-2.5}}{\overset{\mathrm{0.68}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_{\mathrm{-2.5}}^{\mathrm{0.68}}$

Entonces evaluamos en -2.5 y en 0.68:

$\mathrm{I(-2.5)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.68)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 5.31}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [-2.5, 0.68] es:

$\mathrm{A\; =\; 27.9\; -\; 5.31}$

$\mathrm{A\; =\; 22.58}$