Explicación:

Realizandola por partes, nos queda como:

∫ 38x¹⁹ dx + ∫ 20x¹⁰ dx + ∫ 11 dx
Realizando cada integral nos queda:

∫ 38x¹⁹11dx = 2x²⁰

∫ 20 e^20x dx = e^20x

∫ 11 dx = 11x
Sumamos los resultados, ordenamos:

2x²⁰ + e^20x + 11x
Hacemos k como la suma de los ?x de las integrales

2x²⁰ + e^20x + 11x + k

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}(\frac{x}{3}\mathrm{+\; 8)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{6}\mathrm{+\; 8x)}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 5.19}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Entonces evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 0.09}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [0, 0.64] es:

$\mathrm{A\; =\; 5.19\; -\; 0.09}$

$\mathrm{A\; =\; 5.1}$

Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 1 por la izquierda, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a 12:
Entonces,
$\underset{\mathrm{x\to }{1}^{-}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; 12}$

Explicación:

Aplicando la regla D_X [ k u ] = k D_X [ u ], nos queda la expresión:

$3D_x[x^{\mathrm{-3}}]$
Y luego, usando la regla D_X [ x ⁿ ] = n x ^{n - 1}, obtenemos:

$3({\mathrm{-3x}}^{\mathrm{-3-1}})$
Entonces, la respuesta es:

$\mathrm{f\text{'}(x)=-9}{x}^{\mathrm{-4}}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; -14x\; +\; 4}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:

Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}{e}^{\mathrm{(\; -14x\; +\; 4\; )}}(D_x\mathrm{[-14x\; +\; 4])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -14}{e}^{\mathrm{(\; -14x\; +\; 4\; )}}$

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{2.39}}{\int }}(x^2\mathrm{-\; 3)\; dx\; =\; (}\frac{x^3}{3}\mathrm{-\; 3x)}{|}_0^{\mathrm{2.39}}$

Evaluamos en 0 y en 2.39:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(2.39)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 2.62}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{2.39}}{\int }}({\mathrm{4\; -\; x}}^2\mathrm{)\; dx\; =\; (}\mathrm{4x\; -}\frac{x^3}{3}){|}_0^{\mathrm{2.39}}$

Evaluamos en 0 y en 2.39:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(2.39)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 5.01}$

por lo que el area entre las funciones en el rango [0, 2.39] es

$\mathrm{A\; =\; 2.62\; -\; 5.01}$

$\mathrm{A\; =\; 7.63}$

Explicación:

Si hacemos la sustitución directa de -9 en f(x) obtenemos la indeterminación matemática 0/0,
pero eso NO significa que el Límite No exista, pues podemos factorizar:
$\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{x^2\mathrm{+\; 5x\; -\; 36}}{\mathrm{x\; +\; 9}}=\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{\mathrm{(x\; +\; 9)\; (x\; -\; 4)}}{\mathrm{(x\; +\; 9)}}$
Podemos eliminar los términos idénticos, quedando la función de la siguiente forma:
$\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{\mathrm{(x\; +\; 9)\; (x\; -\; 4)}}{\mathrm{(x\; +\; 9)}}=\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\mathrm{(x\; -\; 4)}$
Ahora sí, para esta nueva expresión, hacemos la sustitución de -9 en f(x):
-9 - 4
Entonces, el límite es:
-13

Explicación:

Resolviendola por sustitución, sea:

u = x² + 4
Su diferencial es:

du = 2x dx
Entonces:
du / 2 = x dx
Sustituyendo los términos encontrados nos queda una integral de la forma:

∫ 64 u⁷ du
Resolviendo nos da:

f(u) = 8u⁸ + k
Lo que es igual a:

f(x) = 8(x² + 4)⁸ + k

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -9x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 24\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-9}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 24\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -9\; (\; 1\; )\; -\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -9}$

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{\mathrm{-2.5}}{\overset{\mathrm{0.68}}{\int }}(\frac{x}{4}\mathrm{+\; 9)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{8}\mathrm{+\; 9x)}{|}_{\mathrm{-2.5}}^{\mathrm{0.68}}$

Evaluamos en -2.5 y en 0.68:

$\mathrm{I(-2.5)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.68)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 27.9}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{\mathrm{-2.5}}{\overset{\mathrm{0.68}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_{\mathrm{-2.5}}^{\mathrm{0.68}}$

Entonces evaluamos en -2.5 y en 0.68:

$\mathrm{I(-2.5)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.68)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 5.31}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [-2.5, 0.68] es:

$\mathrm{A\; =\; 27.9\; -\; 5.31}$

$\mathrm{A\; =\; 22.58}$