Explicación:

Sabemos que:

$\int \mathrm{u\; du}=\frac{u^{\mathrm{n+1}}}{\mathrm{n+1}}$
Realizando nos da igual a:

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; k}$
Recuerda que f( 2 ) = 5642 , por lo que resolvemos para k:

$\mathrm{k\; =\; 5642\; -\; 11}{\mathrm{(2)}}^9$
Lo que nos da que k = 10

$\mathrm{f(x)\; =\; 11}{x}^9\mathrm{+\; 10}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 14x\; +\; 89}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:
$D_x[a^u\mathrm{]\; =\; ln\; a\; ·}{a}^u·D_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}{D}_x\mathrm{[14x\; +\; 89])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 14\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}$

Explicación:

Tomando la expresión como:
$\mathrm{u\; =}{v}^{\mathrm{-3}}$
$\mathrm{v\; =\; -7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3}$
Aplicando la regla de la cadena:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3}{v}^{\mathrm{-3-1}}·D_x\mathrm{[\; v\; ]}$
Esto es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-3\; -\; 1}}·D_x\mathrm{[\; -7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3\; ]}$
Obtenemos la derivada para el polinomio:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-4}}\mathrm{(\; -63}{x}^8\mathrm{+\; 12}{x}^3\mathrm{+\; 4\; )}$
Reacomodamos:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3(\; -63}{x}^8\mathrm{+\; 12}{x}^3\mathrm{+\; 4\; )}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-4}}$
Y entonces la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (\; 189}{x}^8\mathrm{-\; 36}{x}^3\mathrm{-\; 12\; )}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-4}}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; -14x\; +\; 4}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:

Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}{e}^{\mathrm{(\; -14x\; +\; 4\; )}}(D_x\mathrm{[-14x\; +\; 4])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -14}{e}^{\mathrm{(\; -14x\; +\; 4\; )}}$

Explicación:

Aplicando la regla o teorema número 1 :
f'(x) = 0

Explicación:

Se puede apreciar que mientras la variable x se aproxima cada vez más a 3 por la derecha, los valores
de sus imágenes f(x) se aproximan a 44:
Entonces,
$\underset{\mathrm{x\to }{3}^{+}}{\lim }?\mathrm{f(x)}\mathrm{=\; 44}$

Explicación:

Aplicando la regla D_X [ k u ] = k D_X [ u ], nos queda la expresión:

$3D_x[x^{\mathrm{-3}}]$
Y luego, usando la regla D_X [ x ⁿ ] = n x ^{n - 1}, obtenemos:

$3({\mathrm{-3x}}^{\mathrm{-3-1}})$
Entonces, la respuesta es:

$\mathrm{f\text{'}(x)=-9}{x}^{\mathrm{-4}}$

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -9x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 24\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-9}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 24\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -9\; (\; 1\; )\; -\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -9}$

Explicación:

Utilizamos:

[1,46]∑ 20n + n = [1,46] ∑ 20n + [1,46] ∑ n
Realizando la primera suma:

[1,46]∑ 20n = 20 ( 46 ( 46 + 1) / 2 ) ) = 21620
Realizando la segunda suma:

[1,46] ∑ n = 46 ( 46 + 1) / 2 ) = 1081
Sumando ambas nos da:

S = 22701

Explicación:

Aplicando la fórmula de derivación del cociente:
f'(x) = ( D_x [4x⁵ + 2x] · (4x⁴ + 2) - (4x⁵ + 2x) · D_x [4x⁴ + 2] ) /  (4x⁴ + 2)²
Ahora, derivamos los polinomios para obtener:
f'(x) =  ( (20x⁴ + 2) (4x⁴ + 2) - (4x⁵ + 2x) (16x³) ) /  (4x⁴ + 2)²
Sustituyendo 1 en f'(x):
f'(1) =  [ (20(1)⁴ + 2) (4(1)⁴ + 2) - ( 4(1)⁵ + 2(1) ) (16(1)³) ] / (4(1)⁴ + 2)²
f'(1) = [ (20(1) + 2) (4(1) + 2) - (4(1) + 2(1)) (16(1)) ] / (4(1) + 2)²
f'(1) = [(20 + 2 ) (4 + 2) - (4 + 2) (16)] / (4 + 2)²
f'(1) = [(22) (6) - (6) (16)] / (6)²
f'(1) = (132 - 96) /36
f'(1) = 36 /36
Entonces, la respueta es:
f'(1) = 1