Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 14x\; +\; 89}$
Aplicando la regla de la cadena para la función exponencial:
$D_x[a^u\mathrm{]\; =\; ln\; a\; ·}{a}^u·D_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}{D}_x\mathrm{[14x\; +\; 89])}$
Esto es, derivando y acomodando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 14\; (ln\; 16)}{\mathrm{16}}^{\mathrm{(14x\; +\; 89)}}$

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -11x\; ]\; -}{D}_x\mathrm{[\; 52\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-11}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 52\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11\; (\; 1\; )\; -\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -11}$

Explicación:

Si hacemos la sustitución directa de -9 en f(x) obtenemos la indeterminación matemática 0/0,
pero eso NO significa que el Límite No exista, pues podemos factorizar:
$\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{x^2\mathrm{+\; 5x\; -\; 36}}{\mathrm{x\; +\; 9}}=\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{\mathrm{(x\; +\; 9)\; (x\; -\; 4)}}{\mathrm{(x\; +\; 9)}}$
Podemos eliminar los términos idénticos, quedando la función de la siguiente forma:
$\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\frac{\mathrm{(x\; +\; 9)\; (x\; -\; 4)}}{\mathrm{(x\; +\; 9)}}=\underset{\mathrm{x\to -9}}{\lim }?\mathrm{(x\; -\; 4)}$
Ahora sí, para esta nueva expresión, hacemos la sustitución de -9 en f(x):
-9 - 4
Entonces, el límite es:
-13

Explicación:

El punto critico es cuando f'(x) = 0 entonces:

$\mathrm{-18x\; =\; 0}$
Cuando:

$\mathrm{x\; =\; 0}$

Explicación:

Aplicando la regla D_X [ k u ] = k D_X [ u ], nos queda la expresión:

$3D_x[x^{\mathrm{-3}}]$
Y luego, usando la regla D_X [ x ⁿ ] = n x ^{n - 1}, obtenemos:

$3({\mathrm{-3x}}^{\mathrm{-3-1}})$
Entonces, la respuesta es:

$\mathrm{f\text{'}(x)=-9}{x}^{\mathrm{-4}}$

Explicación:

Utilizamos:

[1,46]∑ 20n + n = [1,46] ∑ 20n + [1,46] ∑ n
Realizando la primera suma:

[1,46]∑ 20n = 20 ( 46 ( 46 + 1) / 2 ) ) = 21620
Realizando la segunda suma:

[1,46] ∑ n = 46 ( 46 + 1) / 2 ) = 1081
Sumando ambas nos da:

S = 22701

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}(\frac{x}{3}\mathrm{+\; 8)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{6}\mathrm{+\; 8x)}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 5.19}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Entonces evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 0.09}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [0, 0.64] es:

$\mathrm{A\; =\; 5.19\; -\; 0.09}$

$\mathrm{A\; =\; 5.1}$

Explicación:

Resolviendola por sustitución, sea:

u = x² + 4
Su diferencial es:

du = 2x dx
Entonces:
du / 2 = x dx
Sustituyendo los términos encontrados nos queda una integral de la forma:

∫ 64 u⁷ du
Resolviendo nos da:

f(u) = 8u⁸ + k
Lo que es igual a:

f(x) = 8(x² + 4)⁸ + k

Explicación:

Utilizando la regla la derivada de una funcion lineal nos da:

$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; \$2a\$x}$

Explicación:

Representamos los lados del rectángulo como: "x" y como "y".
Entonces su perímetro está dado por la expresión:

Como la malla tiene una longitud de 80 metros, el perímetro de nuestro rectángulo tendrá
exactamente esa medida, es decir:
$\mathrm{80\; =\; 2x\; +\; 2y}$
Despejamos "y" para dejarla en términos de "x", esto es:
$\mathrm{y\; =}\frac{\mathrm{80\; -\; 2x}}{2}$
Haciendo la división obtenemos:
$\mathrm{y\; =}\frac{\mathrm{80}}{2}\mathrm{-\; x}$
Es decir:
$\mathrm{y\; =\; 40\; -\; x}$
Ahora, el área del rectángulo está dada por:
$\mathrm{A\; =\; x\; y}$
Y sustituyendo "y" obtenemos la expresión:
$\mathrm{A(x)\; =\; x\; (40\; -\; x)}$
Multiplicando y acomodando nos da la función buscada:
$\mathrm{A(x)\; =\; -}{x}^2\mathrm{+\; 40x}$