Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; -12x\; +\; 82}$
Aplicando la regla de la cadena:
$D_x\mathrm{[\; sen\; u\; ]\; =\; (cos\; u)\; ·}{D}_x\mathrm{[\; u\; ]}$
Y sustituyendo
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; cos(\; -12x\; +\; 82\; )}{D}_x\mathrm{(\; -12x\; +\; 82\; )}$
Esto es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -12\; cos(\; -12x\; +\; 82\; )}$

Explicación:

Aplicando la regla 4, nos queda la expresión:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 16}{D}_x[x^{\mathrm{-8}}]$
Y luego, usando la regla 3, obtenemos:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 16\; (\; -8\; )\; (}{x}^{\mathrm{-8\; –\; 1}})$
Entonces, la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -128}{x}^{\mathrm{-9}}$

Explicación:

Reescribimos la función como:
$\mathrm{f(x)\; =\; 8\; x1/7}$
Y a partir de esta expresión usamos la fórmula de derivación de potencias para obtener:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; 8/7\; x-6/7}$
Y sustituyendo 5 en f'(x):
$\mathrm{f\text{'}(5)\; =\; 8/7\; (5)-6/7}$
De donde obtenemos:
$\mathrm{f\text{'}(5)\; =\; 0.288}$

Explicación:

Utilizamos:

[1,46]∑ 20n + n = [1,46] ∑ 20n + [1,46] ∑ n
Realizando la primera suma:

[1,46]∑ 20n = 20 ( 46 ( 46 + 1) / 2 ) ) = 21620
Realizando la segunda suma:

[1,46] ∑ n = 46 ( 46 + 1) / 2 ) = 1081
Sumando ambas nos da:

S = 22701

Explicación:

Tomando la expresión como:
$\mathrm{u\; =}{v}^{\mathrm{-3}}$
$\mathrm{v\; =\; -7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3}$
Aplicando la regla de la cadena:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3}{v}^{\mathrm{-3-1}}·D_x\mathrm{[\; v\; ]}$
Esto es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-3\; –\; 1}}·D_x\mathrm{[\; -7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3\; ]}$
Obtenemos la derivada para el polinomio:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-4}}\mathrm{(\; -63}{x}^8\mathrm{+\; 12}{x}^3\mathrm{+\; 4\; )}$
Reacomodamos:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -3(\; -63}{x}^8\mathrm{+\; 12}{x}^3\mathrm{+\; 4\; )}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-4}}$
Y entonces la respuesta es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; (\; 189}{x}^8\mathrm{–\; 36}{x}^3\mathrm{–\; 12\; )}{\mathrm{(-7}{x}^9\mathrm{+\; 3}{x}^4\mathrm{+\; 4x\; +\; 3)}}^{\mathrm{-4}}$

Explicación:

Sabemos que la integral de f(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}(\frac{x}{3}\mathrm{+\; 8)\; dx\; =\; (}\frac{x^2}{6}\mathrm{+\; 8x)}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A1a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A1b\$}$

$A_1\mathrm{=\; 5.19}$

También sabemos que la integral de g(x) es:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{0.64}}{\int }}{x}^2\mathrm{dx\; =}\frac{x^3}{3}{|}_0^{\mathrm{0.64}}$

Entonces evaluamos en 0 y en 0.64:

$\mathrm{I(0)\; =\; \$A2a\$}$

$\mathrm{I(0.64)\; =\; \$A2b\$}$

$A_2\mathrm{=\; 0.09}$

Por lo que el área entre las funciones en el rango [0, 0.64] es:

$\mathrm{A\; =\; 5.19\; –\; 0.09}$

$\mathrm{A\; =\; 5.1}$

Explicación:

Aplicando la regla o teorema número 1 :
f'(x) = 0

Explicación:

Podemos empezar aplicando la regla 5, que nos separa la expresión en:
$D_x\mathrm{[\; -9x\; ]\; –}{D}_x\mathrm{[\; 24\; ]}$
Para la primera parte, usamos la regla 4 para que nos quede:
$\mathrm{-9}{D}_x\mathrm{[\; x\; ]}$
Y de aquí usamos la regla 2
$D_x\mathrm{[\; x\; ]\; =\; 1}$
Para la segunda parte, usamos la regla 1
$D_x\mathrm{[\; 24\; ]\; =\; 0}$
y entonces el resultado es:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -9\; (\; 1\; )\; –\; 0}$
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =\; -9}$

Explicación:

Haciendo:
$\mathrm{u\; =\; 3}{x}^2\mathrm{+\; 76}$
Aplicando la regla de la cadena para la función logaritmo natural:
$D_x\mathrm{[\; ln\; u\; ]\; =}\frac{D_x\mathrm{[\; u\; ]}}{u}$
Y sustituyendo:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{D_x\mathrm{[3}{x}^2\mathrm{+76]}}{\mathrm{(3}{x}^2\mathrm{+76)}}$
Esto es, derivando:
$\mathrm{f\text{'}(x)\; =}\frac{\mathrm{6x}}{\mathrm{(3}{x}^2\mathrm{+76)}}$

Explicación:

Podemos observar que si

u =   x¹⁰

entonces 

du = 10 x⁹ 

observa que 70 = ( 7 )( 10 ) entonces podemos aplicar directamente

∫ sec² u du = tan u&

Realizando nos da igual a

7 tan( x¹⁰ )

agregamos k

7 tan( x¹⁰ ) + k